身近な無理数A判・B判紙の長辺と短辺の比は 1:√2

よく見かけるA判・B判規格の紙は，どのような長方形なのでしょうか。: A4判とB5判等規格の紙は，短辺と長辺の長さの比が $1:\sqrt{2}$ の相似形の長方形です。
A0判の面積を$1m^2$，B0判の面積を $1.5m^2$ とし，2等分と相似の原則に基づいて，A･Bシリーズの各判の辺の長さが決められています。
A0判,B0判の紙を２等分するとそれぞれA1判,B1判ができます。さらに２等分を続けると,A2,B2,…ができます。それらは全て相似形です。
例えば，よく使うA4判は長辺 × 短辺 = 210 × 297，B5判は 182 × 257です。(単位mm)
※1929年（昭和4年）に，JIS（日本工業規格）の前身JESによって制定。2019年（令和元年）日本産業規格（JIS，英語名称は継続）

１　身近な無理数の比 $1:\sqrt{2}$

日頃，目にする筆記用の長方形の紙。筆記用のみならず，その多くは，形がよく似ています。コピー用紙，ノート，パンフレット，マニュアル冊子，教科書，書籍，大きいものでは折り込みチラシ，図面，ポスターなど，用途に適したサイズの紙が，多様に使われています。ノートや書籍などの紙それらの形に着目すると，短辺と長辺をもつ長方形がほとんどです。しかも，形がよく似ています。
実は，紙の形に決まりがあります。詳しくは，紙のサイズとして縦と横の長さが決められているのです。よく見かけるサイズはA判とB判規格のものです。

この「判」の呼称に関連して「シリーズ，列」という呼称があります。
日本産業規格では，仕上げ寸法の呼び方で主要や補助など寸法をまとめて説明するときは「シリーズ」を，寸法を列記するときは「列」を，A4など個別の寸法をいうときは「判」を呼称として使用しているようです。
本稿では，引用部分以外は，便宜的にA4判，A判などと一律に「判」を使用することとします。

さて，紙の形が同じに見える理由は，形が相似形で作られているからです。相似形にするには，長方形の辺の長さの比を一定にします。
そのため，A・B判の紙については，短辺と長辺の長さの比が一定となるよう統一されています。
$$1:\sqrt{2}$$
これが，日本産業規格（JIS）の紙加工仕上寸法の中で説明される長さの比です。
無理数が身近なところで使われていました。
自然数は物の個数を示すときなどに日常生活で欠かせません。小数もガソリンの給油量，各種統計の百分率表示など頻繁に目にします。分数表示はペンキの量でたまに見かける程度です。
しかし，無理数については，数学等の学問関連の書籍等では目にしても，日常生活の中で見かけることはほとんどありません。それが，日々使用する紙のサイズに隠れているとはある意味驚きです。無理数を初めて学ぶ中学生には，その必要感や有用感を感じる一つの例といえます。
サイズ1 □ ABCD の縦と横の辺の比は，$$AB:BC=1:\sqrt{2}$$ です。
しかも，上図のように相似を維持して２等分を繰り返すため，大きさが小さくなっても辺の比は一定です。$$\begin{equation}\begin{split}AB:BC&=1:\sqrt{2}\\&=FC:CD\\&=HE:EA\\&=\cdots\end{split}\end{equation}$$

２　寸法規格の由来と意味

（１）由来

A・B判という規格は，どのようにして決まったのでしょう。
紙の博物館図書室によれば，次のようです。
「1929年（昭和4年）に，JIS（日本工業規格）の前身JESによって制定されました。
規格制定当時，日本で流通している書籍，紙製品を調査したところ，菊判と四六判の2つの大きな系統があり，菊判はA系統にほぼあてはまり，四六判はB系統としました。」_*1
なお，JES (Japanese Engineering Standard) は，JIS 制定以前の日本鉱工業品の規格です。1921年（大正10年）に制定され，臨時日本標準規格（臨JES），日本規格（新JES）への改訂を経て1949年（昭和24年）にJIS(Japanese Industrial Standards)に統合されました。
2019年（令和元年）には，法律が産業標準化法に，規格名が日本産業規格（JIS，英語名称は継続）に，日本工業標準調査会が日本産業標準調査会にそれぞれ改められました。
したがって，現在は，A・B判の寸法は日本産業規格JIS(Japanese Industrial Standards)に定められていることになります。

*1　紙の博物館図書室「国立国会図書館レファレンス協同データベース」2011年03月27日[ONLINE] https://crd.ndl.go.jp/reference/detail?page=ref_view&id=1000083294(cf.2020-06-27)

（２）A・B判の意味

A・B判とは，実際にどのような規格なのでしょう。
A列は，ドイツ規格DINのA列系統をそのまま取り入れました。DIN規格_*2は，ドイツ規格協会（Deutsches Institut für Normung）が制定する，ドイツ連邦共和国の国家規格です。ドイツ国内のみならず，国際的に広く参照される規格でもあります。
B列は，日本独特の系統のもので，B列０番はA列０番の面積の 1.5 倍です。
紙の加工仕上寸法（JIS P0138）でA列０番の面積は約１㎡，B列０番の面積は1.5㎡と決まっています。
A列B列ともにヨコ：タテの比率が $1: \sqrt{2}$ になっているので，これを2等分していくとA1〜A10，B1〜B10の形ができ，それらは完全相似形となります。
よく使われる書籍寸法のB6は四六判，菊判はA5判にあたります。（*1を基に加工・編集）
A判B判 *2　国会図書館リサーチナビ「DIN規格〜ドイツ連邦共和国の国家規格〜」[ONLINE]https://rnavi.ndl.go.jp/research_guide/entry/theme-honbun-400319.php(cf.2020-06-29)

（３）A判・B判のサイズ

日本産業規格（JIS）では，A判（A列）・B判（B列）のサイズを，ISO-Aシリーズ，JIS-Bシリーズとして，次のように辺の長さを規定しています。※単位 (mm)

呼び	A列	呼び	B列
A0	841 × 1,189	B0	1,030 × 1,456
A1	594 × 841	B1	728 × 1,030
A2	420 × 594	B2	515 × 728
A3	297 × 420	B3	364 × 515
A4	210 × 297	B4	257 × 364
A5	148 × 210	B5	182 × 257
A6	105 × 148	B6	128 × 182
A7	74 × 105	B7	91 × 128
A8	52 × 74	B8	64 × 91
A9	37 × 52	B9	45 × 64
A10	26 × 37	B10	32 × 45

他にも，4A0 : 1,682mm×2,378mm，2A0 : 1,189mm×1,682mm のAシリーズに属する寸法がありますが，実際はまれにしか使用しません。
出典：日本産業標準調査会ウェブサイト最新確認年月日2017/10/20[ONLINE]https://www.jisc.go.jp/app/jis/general/GnrJISNumberNameSearchList?toGnrJISStandardDetailList(cf.2020-06-29)

３　数学的な見方・考え方で基本原理を考える

（１）正規寸法の基本原理

日本工業規格 JIS P0138 : 1998 （紙加工仕上寸法）では，筆記用紙及び各種印刷物の仕上寸法を以下のように規定しています。
なお，図及びその参照表記，「参考」，式番号は省略します。また，引用箇所以外はJIS P0138を参考に編集・作成しています。

4.1　基本原理（正規寸法）
紙の寸法体系は，以下の根拠による。各標準シリーズ（正規寸法）は，各辺を直接2等分し，短辺に対し平行となるよう分割（2等分の原則）して得られる一連の寸法で構成する。
各シリーズのすべての寸法は，幾何学的に互いに相似（相似の原則）する。
4.2　寸法体系
寸法は，メートル法による。
4.3　主要シリーズ（ISO-Aシリーズ）
Aシリーズ (A0) の基本寸法は，1平方メートルの面積とし，以下の方程式による。
$X \times Y=1m^2$
4.4　補助シリーズ（JIS-Bシリーズ）
補助シリーズの各寸法は，Aシリーズの隣接する各寸法の間に幾何学的な中間値を設けることで得る。

出典：日本産業標準調査会ウェブサイト最新確認年月日2017/10/20[ONLINE]https://www.jisc.go.jp/app/jis/general/GnrJISNumberNameSearchList?toGnrJISStandardDetailList(cf.2020-06-29)

JIS P0138 では，紙の寸法を規定する内容であることから，形は長方形が前提と考えられます。しかし，そのことには直接触れていないようです。そこで，本稿では，数学的な見方・考え方で基本原理を考えるため，長方形を前提に以下の話を進めることとします。

（２）２等分の原則

①　隣接寸法面積比 2:1

基本原理には，２等分の原則があります。
寸法を決める際に，「各辺を直接２等分し，短辺に対し平行となるよう分割」する原則です。
まず，辺の長さの変化に着目して考えます。
□ABCDにおいて，短辺ABに平行に長辺ADを２等分するよう切断します。すると，できる二つの図形（□ABEF,□EFCD）の面積は，元の□ABCDの半分になります。
同様に切断を続けますが，常に切断後の長方形の面積は，切断前の長方形の半分になります。

サイズ1

$A0$ 判の長方形を $A_0$，短辺の長さを$X$，長辺の長さを$Y$，その面積を $S_{A0}$ とします。２等分した$A1$ 判の長方形$A_1$の面積$S_{A1}$，以下$Aa$ 判の長方形$A_a$の面積$S_{Aa}$とします。紙サイズ1

$$\begin{equation}\begin{split}&S_{A0} = X \times Y = XY \\& S_{A1} = X \times \dfrac{1}{2} Y= \dfrac{1}{2}XY \\& S_{A2} = \dfrac{1}{2} X \times \dfrac{1}{2} Y= \left( \frac{1}{2} \right)^2XY \\& S_{A3} = \dfrac{1}{2} X \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 Y= \left( \frac{1}{2} \right)^3XY \\& \cdots \cdots \\& S_{A0}:S_{A1} = XY: \dfrac{1}{2}XY = 2:1 \\& S_{A1}:S_{A2} = \dfrac{1}{2}XY: \left( \frac{1}{2} \right)^2XY = 2:1 \\& S_{A2}:S_{A3} = \left( \frac{1}{2} \right)^2XY: \left( \frac{1}{2} \right)^3 XY = 2:1 \\& \dots \dots \\& S_{Aa}:S_A(a+1) = 2:1 \end{split}\end{equation}$$
となります。
このように，隣接する二つの寸法の面積比は $2:1$ となります。

②　Aa判はA0判の $2^{-a}$ 倍

次は，面積の変化に着目して考えます。サイズ2 図のように，１回目の２等分で$A1$ 判の面積 $S_{A1}$ は，$S_{A0}$の$\dfrac{1}{2}$，２回目の２等分で $A2$ 判の面積 $S_{A2}$ は $\dfrac{1}{4}$ になります。
したがって，$A0$ 判の面積 $S_{A0}$ は $1m^2$ なので，$Aa$ 判の面積 $S_{Aa}$ と $S_{A0}$ との面積比は次のようになります。
$$S_{A0} : S_{Aa} = 1 : \left( \frac{1}{2} \right)^a = 1 : 2^{-a} \quad (a=0,1,2,\cdots ,10)$$
このように，$S_{A0}$ を基にすると，$S_{Aa} = 2^{-a}S_{A0} = 2^{-a} \cdot 1 = 2^{-a} $ となります。具体的には，次のようです。
$$\begin{equation}\begin{split}&S_{A0}=\left( \frac{1}{2} \right)^0 = 1 (m^2)\\&S_{A1}=\left( \frac{1}{2} \right)^1 = 0.5 (m^2) \\&S_{A2}=\left( \frac{1}{2} \right)^2 = 0.25 (m^2)\\&S_{A3}=\left( \frac{1}{2} \right)^3 = 0.125 (m^2) \\& \cdots \cdots \end{split}\end{equation}$$
日頃よく使う$A4$ 判の用紙の面積は，次のようです。
$$\begin{equation}\begin{split}S_{A4} &= \left( \frac{1}{2} \right)^4 \\&= 0.0625 \quad (m^2)\\&= 625 \quad (cm^2)\end{split}\end{equation}$$
計算上$A4$ 判の面積は $625 cm^2$ になります。実際の寸法の規定では，短辺 $210mm$ 長辺 $297mm$ です。その面積は，
$$\begin{equation}\begin{split}210 \times 297 &= 62370(mm^2)\\& = 623.70(cm^2)\end{split}\end{equation}$$
$625 cm^2$ にほぼ近い値の面積です。

（３）相似の原則

基本原理には，寸法を決める際に，相似の原則があります。
２等分してできる長方形は，互いに相似であるようにするという原則です。
仮に，短辺 5cm，長辺 10cm の長方形があるとします。この長方形の短辺に平行に長辺を２等分して切断すると，一辺5cmの正方形が２つできます。これは，元の長方形と相似ではありません。
したがって，5cm と 10cm の辺の長さの組みは，この規格に該当しません。
正規寸法の基本原理では，「各シリーズのすべての寸法は，幾何学的に互いに相似（相似の原則）」であるようにします。
紙サイズ2

相似な図形では，対応する線分の長さの比は，全て等しいという性質をもっています。図2-3のように，一方の長辺とその一つの頂点とを揃えて重ねると，各長方形の一つの頂点はすべて対角線上に揃います。

２等分して切断する前後の長方形が相似であるようにするには，それらの長方形の辺の長さの比を等しくします。辺の長さの比が等しい長方形は相似といえるからです。そこで，図2-1で，短辺を$X$長辺を$Y$，２等分した長方形の短辺を$\dfrac{Y}{2}$，長辺を$X$とします。そのとき辺の比を等しくします。
$$\begin{equation}\begin{split}X : Y &= \dfrac{Y}{2} : X\\\dfrac{1}{2}Y^2 &= X^2 \\Y^2 &= 2X^2\\Y &= \sqrt{2}X\end{split}\end{equation}$$
したがって，２等分の原則と相似の原則の条件を満たすX辺とY辺の比は以下のとおりです。
$$\begin{equation}\begin{split}X:Y&=X: \sqrt{2}X\\&=1:\sqrt{2}\end{split}\end{equation}$$

４　実際に折って確かめよう

（１）長辺は正方形の対角線に等しい

長方形の辺の長さの比が $1 : \sqrt{2}$ であることから，長方形の長辺の長さは，短辺を一辺とする正方形の対角線の長さに等しくなります。
$$X:Y= 1: \sqrt{2}$$
その理由は，正方形の一辺と対角線の長さの比は $1 : \sqrt{2}$ だからです。したがって，冒頭の文を言い換えると，短辺と長辺の比は，正方形の辺と対角線の比に等しいといえます。
図3−1のように，長辺ABの一方の頂点Bを中心に長辺ABを半径として対辺CDとの交点Fを作ります。その交点Fは，短辺BCを一辺とする正方形EBCFの一つの頂点Fとなります。
図3-2の□ABCDで考えてみましょう。
□ABCDの各辺は，
$AB=DC=\sqrt{2},BC=AD=1$
そこで，Bを中心，ABを半径とする円と辺DCの交点をFとします。
$AB=BF=\sqrt{2}$
□ABCDが長方形であることから，$∠C=∠R$なので， △BCFは直角三角形です。
したがって三平方の定理が成り立ちます。
$$\begin{equation}\begin{split}BC^2+CF^2&=BF^2\\1^2+CF^2&=\sqrt{2}^2\\CF^2&=2-1\\CF&=1\\\therefore \quad BC=CF=1&,BF=\sqrt{2}\end{split}\end{equation}$$
このことから，△BCFは直角二等辺三角形です。
$1:1:\sqrt{2}$は，正方形の一辺と対角線の比です。このことから，正規寸法の基本原理である $X:Y=1:\sqrt{2}$ は，正方形の一辺と対角線との比と言い換えることができます。

（２）紙を折って確かめよう

$X:Y=1:\sqrt{2}$ を実際に紙を折って確かめることができます。
図3-3のように，頂点Bを中心に頂点Cを折り返して，$AB$上に点Eをとります。
$\triangle BCF \equiv \triangle BEF$ から，□BCEFは正方形となります。このとき，正方形の対角線$BF$は，三平方の定理より $\sqrt{2}$ です。$AB=\sqrt{2}$ なので，対角線$BF’$は$BA$と一致するはずです。
そのことを紙を折って確かめてみましょう。
長さの確認まず，図3-3のように，頂点Bを中心に頂点Cを折り返して，$AB$上に点C’を置き，$AB$と$C’B$を重ねます。折り目$BF$とCDの交点を点Fとします。
次に，頂点Bを中心に頂点Fを折り返して，$AB$上に点F’を置き，$AB$と$F’B$を重ねます。
すると，$AB$と$F’B$，点Aと点F’が重なります。正確に折れれば，ほぼ重なります。
重ならない場合は，A判とB判規格の紙ではないことになります。

５　まとめ

A4判などのAシリーズ（A列）やB5判などのBシリーズ（B列）規格の紙は，短辺と長辺の長さの比が $1:\sqrt{2}$ の相似形の長方形です。
A0判の面積を $1m^2$，B0判の面積を $1.5m^2$ とし，２等分の原則と相似の原則に基づいて各判各辺の長さが決められています。
A0判,B0判の紙を２等分するとそれぞれA1判,B1判ができます。さらに２等分を続けると,A2,B2,…ができます。それらは全て相似形です。
よく使うA4判は，長辺 × 短辺 = 210(mm) × 297(mm) です。

A・B判という規格は，1929年（昭和4年）に，JIS（日本工業規格）の前身JESによって制定されました。その後，臨時日本標準規格（臨JES），日本規格（新JES）への改訂を経て1949年（昭和24年）に JIS(Japanese Industrial Standards) に統合されました。さらに，2019年（令和元年）には，法律は産業標準化法に，規格名は日本産業規格にそれぞれ改められました。なお，英語名称は継続されます。

正規寸法の基本原理等については，日本工業規格 JIS P0138 : 1998 （紙加工仕上寸法）で定めています。その基本原理に，２等分の原則と相似の原則があります。
２等分の原則より，隣接する二つの寸法の面積比は，$2:1$ です。
$A0$ 判の面積 $S_{A0}$ と $Aa$ 判の面積 $S_{Aa}$ と面積比は次のようになります。
$S_{A0} : S_{Aa} = 1 : \left( \frac{1}{2} \right)^a \quad (a=0,1,2,\cdots ,10)$
２等分の原則に相似の原則を加えることで，短辺と長辺の長さの比が $1:\sqrt{2}$ の相似形の長方形であることが定まります。

このことは，実際に次のように紙を折って確かめることができます。長さの確認
なお，AB同一番号のA判の短辺と長辺，B判の短辺と長辺の比は，$1:\sqrt{2}:\sqrt{\dfrac{3}{2}}:\sqrt{3}$ です。
このことについては，別稿「A判とB判の図形としての無理数の関係」で詳しく述べます。

参考　日本工業規格(JIS)P0138 紙加工仕上寸法 Writing paper and certain classes of printed matter −Trimmed sizes−A and B series[ONLINE]https://kikakurui.com/p/P0138-1998-01.html(2020-06-28)

身近な無理数A判・B判紙の長辺と短辺の比は 1:√2

１　身近な無理数の比 \(1:\sqrt{2}\)