- 三平方の定理に登場する ３：４：５ などの辺の比は，どのようにつくるのでしょうか。
- まず，次の式を見てください。
１＋３＋５＝３２
１＋３＋５＋７＝４２
１＋３＋５＋７＋９＝５２なんとも不思議です。
奇数の和が，平方数になっています。
この３つの式を組み合わせると，３２＋４２＝５２
正の整数ａ，ｂ，ｃがａ２＋ｂ２＝ｃ２の関係を満足していれば，ａ，ｂ，ｃの組をピタゴラス数と呼びます。
ピタゴラス数は，奇数の和である平方数をもとに構成できます。
例えば，よく知られる（３，４，５）は，次のように導かれます。１＋３＋５＋７＝４２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５２…②
①を②に代入すると，
４２＋９＝５２
４２＋３２＝５２この方法で一般的な求め方は，自然数ｎを用いて，
a＝２ｎ＋１，ｂ＝２ｎ２＋２ｎ，ｃ＝２ｎ２＋２ｎ＋１
となります。
より一般的な方法は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表されます。a＝ｍ２－ｎ２，b＝２ｍｎ，c＝ｍ２＋ｎ２
１ 奇数の和は平方数
（１）ピタゴラス数とは
有名なピタゴラスの定理は，次のように述べることができます。
直角三角形において，直角をはさむ二辺の上にかいた正方形の面積の和は，その斜辺の上にかいた正方形の面積に等しい。すなわち，直角三角形の直角をはさむ二辺の長さをそれぞれａ，ｂ，斜辺の長さをｃとすれば，
ａ２＋ｂ２＝ｃ２
が成り立つ。
ピタゴラスの定理は，その逆も成り立ちます。
三角形の三つの辺の長さをａ，ｂ，ｃとするとき，もしその間に，
ａ２＋ｂ２＝ｃ２
という関係が成り立つならば，
この三角形は，ｃという長さの辺に対する角が直角である直角三角形である。
このことから，ピタゴラスの定理が成り立つ数の組を，ピタゴラス数と呼んでいます。
正の整数ａ，ｂ，ｃがａ２＋ｂ２＝ｃ２の関係を満足していれば，ａ，ｂ，ｃの組はピタゴラス数
例えば，
３２＋４２＝５２
（３，４，５）は，比較的よく知られたピタゴラス数です。
日常的に，直角を作ったり確かめたりするときに使われます。
（２）奇数の和と平方数の関係
ところで，自然数で，１，３，５，７，９，…，２ｎ－１は，奇数です。
その奇数を，１から順に加えていくと，次のようになります。
１＝１２
１＋３＝４＝２２
１＋３＋５＝９＝３２
１＋３＋５＋７＝１６＝４２
１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５２
１＋３＋５＋７＋９＋１１＝３６＝６２
……
不思議なことに，奇数の和は，平方数になります。
平方数とは，自然数の二乗で表される整数です。
ピタゴラスは，この平方数のことを四角数と呼びました。
図のように，
- ｎ個×ｎ個の正方形を作ります。
- その正方形の上に，辺の数と同じｎ個を加え，
- 正方形の右に，辺の数と同じｎ個を加え，
- 正方形の右上に，１個を加えます。
- 合わせて，２ｎ＋１，すなわち奇数個を加えたことなります。
- そうすると，できた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形です。
はじめのｎ個×ｎ個の正方形から，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形に変わり，（ｎ＋１）２の平方数になります。
このように，連続する奇数を加えることで，平方数を続けてつくることができます。
奇数を，１から順に加えた結果は，いつでも平方数になります。
１＋３＋５＋７＋…（２ｎ－１）＝ｎ２
２ 平方数から構成するピタゴラス数
ピタゴラスは，奇数の和である平方数をもとに，ピタゴラス数を見出しました。
例えば，以下のようです。
１～７と１～９の奇数の和を考えます。
１＋３＋５＋７＝４２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５２…②
①を②に代入すると，
４２＋９＝５２
４２＋３２＝５２
これにより，ピタゴラス数（３，４，５）が得られます。
次に，１～２３と１～２５の奇数の和を考えます。
１＋３＋５＋…＋２３＝１２２………①
１＋３＋５＋…＋２３＋２５＝１３２…②
①を②に代入すると，
１２２＋２５＝１３２
１２２＋５２＝１３２
これにより，ピタゴラス数（５，１２，１３）が得られます。
さらに，１～４７と１～４９の奇数の和を考えます。
１＋３＋５＋…＋４７＝２４２………①
１＋３＋５＋…＋４７＋４９＝２５２…②
①を②に代入すると，
２４２＋４９＝２５２
２４２＋７２＝２５２
これにより，ピタゴラス数（７，２４，２５）が得られます。
この方法を続ければ，いくらでもピタゴラス数をつくり出すことできます。
例えば，（４０，９，４１），（６０，１１，６１），（８４，１３，８５）などです。
・ ４０２＋９２＝４１２
・ ６０２＋１１２＝６１２
・ ８４２＋１３２＝８５２
・ １１２２＋１５２＝１１３２
・ １４４２＋１７２＝１４５２
３ ピタゴラス数の分析と求め方
（１）ピタゴラス数の作り方を図で考える
上記のピタゴラス数の作り方を図にして考えると，赤文字部分が平方数になるとき，ピタゴラス数になります。
- 一辺がｎ個であるｎ個×ｎ個の正方形を作ります。
- その正方形の上に，辺の数と同じｎ個を加え，
- 正方形の右に，辺の数と同じｎ個を加え，
- 正方形の右上に，１個を加えます。
- 合わせて，２ｎ＋１個を加えます。
- そうすると，できた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形です。
このとき，
はじめのｎ個×ｎ個の正方形は，ｎ２個，最後にできた正方形は，（ｎ＋１）個×（ｎ＋１）個の正方形，すなわち（ｎ＋１）２個の正方形です。
このことを式に表すと，
ｎ２＋（２ｎ＋１）＝（ｎ＋１）２
となります。
この（２ｎ＋１）が平方数のとき，ピタゴラス数になります。
例えば，奇数は，１，３，５，７，９，１１，…
と続きます。
そのうち最初の奇数の平方数は，９＝３２です。
次の平方数としては，１６＝４２がありますが，これは偶数です。
ですから，さらに次の奇数の平方数を探します。
…，１９，２１，２３，２５，２７，…
となり，平方数２５＝５２が登場します。
この平方数からピタゴラス数を作ると，
１＋３＋５＋…＋２３＝１２２………①
１＋３＋５＋…＋２３＋２５＝１３２…②
①を②に代入すると，
１２２＋２５＝１３２
１２２＋５２＝１３２
これにより，ピタゴラス数（５，１２，１３）が得られます。
（２）ピタゴラス数を式で考える
① ピタゴラス数の図化
上記で得られたピタゴラス数で，直角三角形を作図するとどのようになるでしょうか。
直角を挟む２辺のうち 一方の辺の比は，
３，５，７，９，１１，１３，１５，…
という奇数で，一次的な単調増加です。
他方の辺の比は，
４，１２，２４，４０，６０，８４，１１２，…
と，数は二次的に変化し単調増加です。
② ピタゴラス数のグラフ化
下記のピタゴラス数である３辺の比の変化を，グラフ化すると次のようになります。
番号（ ａ， ｂ， ｃ ） ａ２＋ｂ２=ｃ２
１ （ ３ ４ ５）
２ （ ５ １２ １３）
３ （ ７ ２４ ２５）
４ （ ９ ４０ ４１）
５ （ １１ ６０ ６１）
６ （ １３ ８４ ８５）
７ （ １５ １１２ １１３）
８ （ １７ １４４ １４５）
③ ピタゴラス数の式化
直角三角形の直角をはさむ２辺のうちの１辺の変化の式は，
ｙ＝２ｘ＋１
の一次関数です。これは，奇数を表します。
直角をはさむもう１辺の変化の式は，
ｙ＝２ｘ２＋２ｘ
の定数項のない二次関数です。
斜辺の変化の式は，
ｙ＝２ｘ２＋２ｘ＋１
の二次関数です。
「２ 平方数からできるピタゴラス数」で述べた方法によれば，一般的に次の式でピタゴラス数が求められます。
自然数：ｎ ａ：２ｎ＋１，ｂ：２ｎ２＋２ｎ，ｃ：２ｎ２＋２ｎ＋１
なお，
ａ２＋ｂ２=（２ｎ＋１）２+（２ｎ２＋２ｎ）２
＝４ｎ４＋８ｎ３＋８ｎ２＋４ｎ＋１
＝（２ｎ２＋２ｎ＋１）２
＝ｃ２
となり，上記の式は，三平方の定理が成り立ちます。
これらの式のｎに自然数を代入すると，ピタゴラス数が得られます。
④ ピタゴラス数の一般的な求め方
さらに一般的には，ピタゴラス数は，次のように表されることが知られています。
| 最大公約数が１のピタゴラス数は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表される。
ｘ＝ｍ２－ｎ２，ｙ＝２ｍｎ，ｚ＝ｍ２＋ｎ２ |
４ まとめ
ピタゴラス数は，奇数の和である平方数をもとに構成することができます。
例えば，よく知られる（３，４，５）は，次のように導かれます。
１＋３＋５＋７＝４２………①
１＋３＋５＋７＋９＝５２…②
①を②に代入すると，
４２＋９＝５２
４２＋３２＝５２
この方法で一般的な求め方は，
自然数：ｎ ａ＝２ｎ＋１，ｂ＝２ｎ２＋２ｎ，ｃ＝２ｎ２＋２ｎ＋１
となります。
より一般的な方法は，異なる自然数ｍ，ｎを用いて次のように表されます。
ａ＝ｍ２－ｎ２，ｂ＝２ｍｎ，ｃ＝ｍ２＋ｎ２
引用，参考文献 矢野健太郎「すばらしき数学者たち」新潮文庫昭和５５年（本稿１，２）※平方数は，本書では，三角数と合わせて四角数と紹介されています。本稿では，三角数に触れていないことから，平方数を使用しています。
